斐波那契数列算法优化

上述代码的时间复杂度为O( logN )，O(N)到O(logN)已经是很大的进步了，但是，还能优化吗？显然可以，上述算法依然是一个递归算法，那其必然也存在递归的通病，容易栈溢出。

 

 

好吧，我们依然用解决斐波那契数列的思路来解决这题， 递归转为递推，为表示方便以 f[N] 表示M的N次方的值，我们从f[0]开始计算一直计算到f[N]。

 

f[0] = 1 , f[1] = M , f[2] = f[1] * f[1] , f[3] = f[2] * f[1] , f[4] = f[2] * f[2] , ........

 

写着写着发现有点不对劲，哪里不对劲呢？f[4]需要用到f[3]的值吗？f[N]需要用到f[N-1],f[N-2],直到f[N/2+1]的值吗？我们显然做了很多无效计算，也存储了很多我们显然不需要的值。

 

So, 问题又转换为：给你一个数N，如何在递推中判断是否该存储遇到的值。

 

这里懒得写公式了，就copy下编程之美上的解释：

分析：

 

以一个通项为例当ak（即n在二进制表示中的第K位）为0时，其值为1，不需要任何计算，当ak等于1时，我们需要将之前的乘积再乘以来得到A^n。而显然